轻学总比没有——四元数 向量分析 线性代数好
曹则贤的|
中国科学院物理研究所
本文选自2020年《物理》第十期
别管什么时候
—— 1859年的威廉罗恩汉密尔顿
摘要四元数是哈密顿对二进制数即复数的推广，它的成功打开了现代代数的大门。汉密尔顿称之为四元数向量的纯虚部，并翻译成中文。点乘和叉乘的概念是从三维世界向量的四元数乘积中引入的。麦克斯韦从泰特那里学会了四元数，发明了散度和旋度的概念用于微分矢量运算，三分量普通四元数世界矢量被麦克斯韦和海维赛德用来表示电磁学，于是以我们今天熟悉的麦克斯韦方程组的形式，吉布斯和海维赛德独立地发展了矢量分析。向量分析是对严谨的四元数代数的一种务实的切割，用处明显，危害极大。混沌点乘和交叉乘法让电动力学成为大多数物理学生的噩梦。泰特奋力捍卫四元数，向量分析却大行其道。哈密顿追求一般多代数的建立，吉布斯试图推广三维向量分析，借助格拉斯曼创立的线性展开和派莱斯创立的线性结合代数的知识，线性代数应运而生。几乎同时诞生的矩阵论、格拉斯曼代数、克利福德代数，与它们有着密切的内在联系，也是物理表达式的数学基础。通过了解四元数、矢量分析、线性代数背后的代数知识以及它们之间的关系，普通物理教材中的数学表达式可能就不会那么混乱了，也就能明白为什么电动力学中的矢量交叉乘法在量子力学中。据说波函数也是矢量——。顺带一提，向量之所以是向量，在于它遵循的代数结构，不需要有方向，甚至不需要有长度。
关键人物汉密尔顿、泰特、麦克斯韦、海维赛德、凯莱、吉布斯、格拉斯曼、皮尔斯、克利福德
01
一头雾水的电-动力学符号
作者很傻，大学物理成绩很烂，尤其是电-动力学领域。俗话说“长夜不哭不足以谈爱情”。套用这句俗语，作者想说：“对于乱七八糟的点乘——交叉乘法公式，我从来没有怀疑过人生，也没有学过电——动力学。”纯粹为了生存，我不得不背那些莫名其妙的公式。至于它们的数学意义，对应的物理图像和原因，我完美地继承了教科书作者和老师的无知。为了增加人们的恶心感和直观感，约翰大卫杰克逊的《经典电-动力学》(这本国际流行的电动力学教材，经典电动力学，第三版，约翰威利父子公司(1999))，我给个高差评！)书中所谓的向量公式附录转载如下：
对于三维位置向量，有x=3； x=0 .
上表中的a、b、c、x为矢量。这个表通常列在《电-动力学》教材里。我猜是方便读者查找吧。那为什么要好找呢？当然，因为我知道你不懂，记不住！这大概是一般《电-动力学》教材作者的默认立场。有趣的是，这些作者一般不会告诉我们，这里讨论的是特定的三维向量，不是线性代数中的任意维向量，也不是复值但模为1的向量，这就是量子力学中的波函数。由两个波函数组成的双分量怪物是旋量，但总是被误认为是矢量。至于这里的点乘-叉乘公式，是来源于这个特定的3D向量本身的代数性质，这类书里没有什么线索。值得注意的是，向量在一般(英文)书籍中定义为既有长度又有方向的量。所以，中文说矢量，英文说箭头记号是不对的。向量属于这样一个集合，其中任意两个元素a1和a2的线性叠加1a1 2a2，是属于某个数域的标量，都在这个集合中，即该集合对于线性叠加是封闭的。至于向量是否有模(长度)，两个向量之间的夹角(方向)能否定义，就不一定了。
上面列出的公式属于向量分析(vector